Приклад математичної моделі. Визначення, класифікація та особливості
У запропонованій вашій увазі статті мипропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей і розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням.
Ще один наш питання - це математичні моделі векономіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи пізніше. Почати нашу розмову ми пропонуємо з самого поняття «модель», коротко розглянемо їх класифікацію та перейдемо до основних наших питань.
Поняття «модель»
Ми часто чуємо слово «модель». Що ж це таке? Даний термін має безліч визначень, ось тільки три з них:
- специфічний об'єкт, який створюється дляотримання і зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики і так далі оригіналу даного об'єкта (цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);
- ще під моделлю розуміється відображення будь-якої конкретної ситуації, життєвої або управлінської;
- моделлю може служити зменшена копія якого-небудь об'єкта (вони створюються для більш докладного вивчення і аналізу, так як модель відображає структуру і взаємозв'язки).
Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити складну систему або об'єкт.
Всі моделі можна класифікувати за рядом ознак:
- по області використання (навчальні, дослідні, науково-технічні, ігрові, імітаційні);
- по динаміці (статичні і динамічні);
- за галуззю знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);
- за способом подання (матеріальні і інформаційні).
Інформаційні моделі, в свою чергу, діляться на знакові і вербальні. А знакові - на комп'ютерні та некомп'ютерні. Тепер перейдемо до докладного розгляду прикладів математичної моделі.
Математична модель
Як не важко здогадатися, математична модельвідображає будь-які риси об'єкта або явища за допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу на своєму специфічному мовою.
Метод математичного моделювання зародивсядосить давно, тисячі років тому, разом з появою даної науки. Однак поштовх для розвитку даного способу моделювання дало поява ЕОМ (електронно-обчислювальних машин).
Тепер перейдемо до класифікації. Її так само можна провести за деякими ознаками. Вони представлені в таблиці нижче.
Класифікація по галузі науки | Застосування математичних моделей у фізиці, соціології, хімії і так далі |
З математичного апарату, який використовується в процесі моделювання | Моделі на основі диференціальних рівнянь, дискретних алгебраїчних перетворень тощо |
За цілями моделювання | Згідно з цим принципом, виділяють описові, оптимізаційні, багатокритеріальні, ігрові та імітаційні моделі |
Ми пропонуємо зупинитися і докладніше розглянути останню класифікацію, так як вона відображає загальні закономірності моделювання і цілі створюваних моделей.
дескриптивні моделі
У цьому розділі ми пропонуємо зупинитися докладніше на дескриптивних математичних моделях. Для того щоб було все гранично зрозуміло, буде наведено приклад.
Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки і прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події.
Яскравим прикладом описової математичної моделіє обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, яка вторглася в простори нашої Сонячної системи. Ця модель є описової, так як всі отримані результати можуть тільки попередити нас про будь-якої небезпеки. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, грунтуючись на отриманих розрахунках, можна вдатися до якихось заходів для збереження життя на Землі.
оптимізаційні моделі
Зараз ми трохи поговоримо проекономіко-математичних моделях, прикладами яких можуть служити різні ситуації, що склалися. В даному випадку мова йде про моделі, які допомагають знайти правильну відповідь у певних умовах. Вони обов'язково мають якісь параметри. Щоб стало гранично зрозуміло, розглянемо приклад з аграрної частини.
У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. У цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режим і оптимізувати процес зберігання.
Таким чином, ми можемо дати визначення поняттю«Оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і немає), рішення якої допомагає знайти оптимальне рішення в конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі (оптимизационной) ми розглянули, але хочеться ще додати: даний вид відноситься до класу екстремальних задач, вони допомагають описати функціонування економічної системи.
Відзначимо ще один нюанс: моделі можуть носити різний характер (див. Таблицю нижче).
детермінований | В даному випадку результат залежить від вхідних даних |
стохастичний | Опис випадкових процесів. В даному випадку результат залишається невизначеним |
багатокритеріальні моделі
Зараз пропонуємо вам поговорити трохи проматематичної моделі багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу по якогось одного критерію, але що робити, якщо їх багато?
Яскравим прикладом багатокритеріальної задачі служитьорганізація правильного, корисного і одночасно економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдалень, літніх таборах, лікарнях і так далі.
Які критерії нам дано в даній задачі?
- Харчування має бути корисним.
- Витрати на їжу повинні бути мінімальними.
Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Значить, при вирішенні завдання необхідно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.
Ігрові моделі
Говорячи про ігрові моделях, необхідно розумітипоняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, то дані моделі відображають математичні моделі справжніх конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має свої певні правила.
Зараз буде наведено мінімум інформації зтеорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, в моделі обов'язково присутні сторони (дві або більше), яких прийнято називати гравцями.
Всі моделі мають деякі властивості.
суб'єкти | Кількість гравців |
стратегія | Варіанти можливих дій |
платіж | Результат конфлікту (виграш чи програш). |
Ігрова модель може бути парною абомножинної. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше - множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, в якій виграш одного з учасників дорівнює програшу іншого.
імітаційні моделі
В даному розділі ми звернемо увагу на імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть служити:
- модель динаміки чисельності мікроорганізмів;
- модель руху молекул, і так далі.
В даному випадку ми говоримо про моделі, якімаксимально наближені до реальних процесів. За великим рахунком, вони імітують якесь прояв в природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати за долею кожної окремої особини. В даному випадку математичний опис використовують рідко, частіше присутні письмові умови:
- через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;
- через двадцять днів мураха гине, і так далі.
Таким чином, імітаційні моделі використовуються для опису великої системи. Математичне висновок - це обробка отриманих статистичних даних.
вимоги
Дуже важливо знати, що до даного виду моделі пред'являють деякі вимоги, серед яких - наведені в таблиці нижче.
універсальність | Ця властивість дозволяє використовувати одну й ту жмодель при описі однотипних груп об'єктів. Важливо відзначити, що універсальні математичні моделі абсолютно не залежать від фізичної природи досліджуваного об'єкта |
адекватність | Тут важливо розуміти, що ця властивістьдозволяє максимально правильно відтворювати реальні процеси. У завданнях експлуатації дуже важливо дане властивість математичного моделювання. Прикладом моделі може служити процес оптимізації використання газової системи. В даному випадку зіставляються розрахункові та фактичні показники, в результаті перевіряється правильність складеної моделі |
точність | Дана вимога має на увазі збіг значень, які ми отримуємо при розрахунку математичної моделі і вхідних параметрів нашого реального об'єкта |
економічність | Вимога економічності, що пред'являється до будь-якоїматематичної моделі, характеризується витратами на реалізацію. Якщо робота з моделлю здійснюється ручним способом, то необхідно розрахувати, скільки часу піде на вирішення однієї задачі за допомогою даної математичної моделі. Якщо мова йде про автоматизованому проектуванні, то розраховуються показники витрат часу і пам'яті комп'ютера |
етапи моделювання
Всього в математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.
- Формулювання законів, що зв'язують частини моделі.
- Дослідження математичних задач.
- З'ясування збігів практичних і теоретичних результатів.
- Аналіз і модернізація моделі.
Економіко-математична модель
У цьому розділі коротко висвітлимо питання економіко-математичних моделей. Прикладами завдань можуть служити:
- формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;
- максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимальної кількості випуску столів і стільців на меблевій фабриці, і так далі.
Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів і знаків.
Комп'ютерна математична модель
Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:
- завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць, і так далі;
- завдання на механіку твердого тіла, і так далі.
Комп'ютерна модель - це образ об'єкту або системи, представлений у вигляді:
- таблиці;
- блок-схеми;
- діаграми;
- графіка, і так далі.
При цьому дана модель відображає структуру і взаємозв'язки системи.
Побудова економіко-математичної моделі
Ми вже раніше сказали про те, що такеекономіко-математична модель. Приклад рішення задачі буде розглянуто прямо зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми для виявлення резерву підвищення прибутку при зсуві в асортименті.
Повністю розглядати задачу ми не будемо, атільки побудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашого завдання - максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: L = р1 * х1 + р2 * х2 ..., що прагне до максимуму. У даній моделі р - це прибуток за одиницю, х - це кількість вироблених одиниць. Далі, грунтуючись на побудованої моделі, необхідно провести розрахунки і підвести підсумок.
Приклад побудови простої математичної моделі
Завдання. Рибак повернувся з наступним уловом:
- 8 риб - мешканці північних морів;
- 20% улову - мешканці південних морів;
- з місцевої річки не виявилося жодної рибини.
Скільки риб він купив в магазині?
Отже, приклад побудови математичної моделіданого завдання виглядає наступним чином. Позначаємо загальна кількість риб за х. Дотримуючись умові, 0,2х - це кількість риб, що мешкають в південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію і отримуємо математичну модель задачі: х = 0,2х + 8. Вирішуємо рівняння і отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив в магазині.
</ P>
